高二数学题经典题型及答案（高二数学经典题型详解）

高二数学经典题型详解

一、函数的零点问题

1. 题目

已知函数 $y=f(x)$ 的图像如下，问方程 $f(x)=g(x)$ 在什么区间内有解，并求出实数解的个数。

2. 解答

根据图像可知，$f(x)$ 有三个零点：$x_1=-2,x_2=0,x_3=2$。$g(x)$ 是一条过原点的直线，因此 $g(x)$ 在区间 $(-\\infty,+\\infty)$ 内有且仅有一个零点 $x_0=1$。根据函数零点问题的定理，当 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的零点个数之和等于奇数时，二者在某些区间内必定有交点。

对于本题，在区间 $(-\\infty,-2)$、$(-2,0)$、$(0,1)$、$(1,2)$、$(2,+\\infty)$ 内，$f(x)$ 和 $g(x)$ 的零点个数之和分别为 $0, 1, 1, 1, 0$，因此只有在 $(0,1)$ 内二者才有交点。而且根据图像可知，在此区间内二者仅有一个交点。因此，方程 $f(x)=g(x)$ 在 $(0,1)$ 内有且仅有一个实数解。

二、数列的极限问题

1. 题目

已知数列 $\\{a_n\\}$ 满足 $a_1=1,a_{n+1}=a_n+\\frac{1}{a_n}$。证明 $\\{a_n\\}$ 收敛，并求其极限。

2. 解答

我们需要证明 $a_n$ 是单调递增的有上界数列。

首先证明 $a_n$ 是正数。显然当 $a_1=1$ 时，$a_2=1+\\frac{1}{1}=2>0$。而当 $a_n>0$ 时，$a_{n+1}=a_n+\\frac{1}{a_n}>a_n$，故 $\\{a_n\\}$ 是单调递增的正数数列。

其次证明 $a_n\\leqslant 2$。采用数学归纳法。当 $n=1$ 时，$a_1=1\\leqslant 2$ 成立。现假设 $a_k\\leqslant 2$，则将其代入 $a_{k+1}=a_k+\\frac{1}{a_k}$ 中，得到：

$$a_{k+1}=a_k+\\frac{1}{a_k}\\leqslant 2+\\frac{1}{2}=2.5$$

由于 $a_{k+1}$ 是单调递增的，因此当 $a_k\\leqslant 2$ 时可以得到 $1

又因为 $\\{a_n\\}$ 是单调递增的且有上界数列，因此它必定收敛。设其极限为 $a$，则有：

$$a=\\lim_{n\o\\infty}a_n=\\lim_{n\o\\infty}a_{n-1}+\\frac{1}{a_{n-1}}=\\cdots=\\lim_{n\o\\infty}a_1+\\frac{1}{a_1}+\\cdots+\\frac{1}{a_{n-1}}$$

将 $a$ 代入 $a_{n+1}=a_n+\\frac{1}{a_n}$ 中，得到：

$$a+\\frac{1}{a}=\\lim_{n\o\\infty}(a_n+\\frac{1}{a_n})=\\lim_{n\o\\infty}a_{n+1}=a$$

化简可得 $a^2=1+\\frac{1}{a^2}$，解得 $a=\\sqrt{2}$。

三、三角函数的恒等式问题

1. 题目

已知 $\an\\alpha=3,\an\\beta=\\frac{1}{4}$，求 $\\sin(\\alpha+\\beta)$ 的值。

2. 解答

根据 $\\sin(\\alpha+\\beta)=\\sin\\alpha\\cos\\beta+\\cos\\alpha\\sin\\beta$，我们需要求出 $\\sin\\alpha,\\cos\\alpha,\\sin\\beta,\\cos\\beta$ 的值。

由于 $\an\\alpha=3$，可得：

$$\\begin{aligned}\an^2\\alpha&=\\sec^2\\alpha-1\\\\&=\\frac{1}{\\cos^2\\alpha}-1\\\\&=\\frac{1-\\cos^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha}\\end{aligned}$$

移项并代入 $\\sin^2\\alpha+\\cos^2\\alpha=1$，得到：

$$\\begin{aligned}&\\frac{1}{\\cos^2\\alpha}=\\frac{\\cos^2\\alpha}{1-\\cos^2\\alpha}\\\\ \\Rightarrow &\\frac{1}{9}=\\frac{\\cos^4\\alpha}{1-\\cos^2\\alpha}\\\\ \\Rightarrow &\\cos^4\\alpha+9\\cos^2\\alpha-9=0\\\\ \\Rightarrow &(\\cos^2\\alpha+1)(\\cos^2\\alpha-9)=0\\end{aligned}$$

由于 $-1\\leqslant\\cos\\alpha\\leqslant 1$，因此 $\\cos^2\\alpha\ eq 9$。因此 $\\cos^2\\alpha=1$，即 $\\cos\\alpha=1$。又因为 $\\sin^2\\alpha+\\cos^2\\alpha=1$，因此 $\\sin\\alpha=0$。

同理，对于 $\an\\beta=\\frac{1}{4}$，有 $\\cos\\beta=\\frac{4}{\\sqrt{17}}$，$\\sin\\beta=\\frac{1}{\\sqrt{17}}$。

因此：

$$\\begin{aligned}\\sin(\\alpha+\\beta)&=\\sin\\alpha\\cos\\beta+\\cos\\alpha\\sin\\beta\\\\&=0+\\frac{4}{\\sqrt{17}}\imes\\frac{1}{\\sqrt{17}}\\\\&=\\frac{4}{17}\\end{aligned}$$

综上所述，$\\sin(\\alpha+\\beta)=\\frac{4}{17}$。